Para os fótons, a freqüência 
e a energia E estão relacionadas pela expressão
= E / h, e o comprimento de onda 
e a quantidade de movimento p, pela expressão
= h / p. Esta segunda expressão vem da primeira porque, para os fótons,
valem, também, as relações E = pc e
n = c. Já que os elétrons, assim como os fótons, têm
comportamento de onda e de partícula, é de se esperar que os
elétrons, quando se comportam como ondas, tenham freqüências
e comprimentos de onda dados pelas mesmas expressões:
= E / h
e
= h / p
Estas relações, quando aplicadas aos elétrons, se chamam relações de de Broglie. Na verdade, aplicam-se a quaisquer corpos, quer sejam microscópicos, quer sejam macroscópicos. Mas, para corpos macroscópicos, o comprimento de onda de de Broglie está além de qualquer possibilidade de observação ou medida. Por exemplo, para um corpo de massa 1 kg que se move com uma velocidade de módulo 1 m/s, tem-se:
= 6,63 x 10-34 Js / [( 1 kg )( 1 m/s )] = 6,63 x 10-34
m
Não é possível observar o comportamento ondulatório de tal corpo, por exemplo, por interferência ou difração, já que não existe qualquer abertura ou obstáculo dessa ordem de grandeza. Os núcleos atômicos, que são os menores obstáculos que poderiam ser usados, têm diâmetros da ordem de 10-15 m.
Na física clássica, certos fenômenos são descritos em termos de um modelo ondulatório e outros, em termos de um modelo corpuscular. Por exemplo, o fenômeno de propagação do som em um gás é entendido em termos de um modelo ondulatório enquanto que o fenômeno de pressão do gás sobre qualquer superfície é entendido em termos de um modelo corpuscular (teoria cinética). Na física quântica, os dois modelos são necessários para descrever qualquer ente físico (partícula), embora não nas mesmas circunstâncias. Por exemplo, no caso da radiação eletromagnética, o fenômeno de polarização só pode ser entendido em termos de um modelo ondulatório enquanto que o efeito fotoelétrico e o efeito Compton só podem ser entendidos em termos de um modelo corpuscular, e no caso dos elétrons, os resultados do experimento de Davisson e Germer só podem ser entendidos em termos de um modelo ondulatório enquanto que os resultados do experimento de Thomson só podem ser entendidos em termos de um modelo corpuscular.
Os objetos são compostos de substâncias que se apresentam aos sentidos humanos numa grande variedade de formas, texturas, cores, etc., e parecem ter uma estrutura contínua. Na realidade, as substâncias são compostas de unidades distintas, agrupadas de muitas maneiras diferentes. As unidades básicas das substâncias são chamadas, convencionalmente, de partículas, o que não implica que não tenham nenhum tipo de estrutura interna. Por outro lado, como os objetos se apresentam aos sentidos humanos com tamanhos, formas e localizações definidos, existe a tendência de extrapolar tais propriedades inclusive às partículas fundamentais (prótons, nêutrons, elétrons, etc.). As experiências de física moderna não fundamentam essa extrapolação. Atualmente, o termo partícula é aplicado a entes físicos que têm propriedades como massa, carga elétrica, etc., que na física clássica são usualmente atribuídas ao que ali se chama de partícula, e propriedades como comprimento de onda e freqüência, que na física clássica são usualmente atribuídas ao que ali se chama de onda.
Existem quatro interações fundamentais, a gravitacional, a eletromagnética, a nuclear fraca e a nuclear forte, e a cada uma delas está associada uma certa propriedade chamada fonte: a massa é a fonte da interação gravitacional, a carga elétrica é a fonte da interação eletromagnética, a carga de cor, característica dos quarks, é a fonte da interação nuclear forte, e a carga fraca é a fonte da interação fraca. As leis fundamentais das interações são formuladas em termos de fontes pontuais e as forças entre dois ou mais corpos sempre podem ser reduzidas a resultantes de forças entre pares de fontes e é por isso que, quando uma partícula é detectada por algum tipo de interação, atua no sentido de ser localizada e deve, nesta circunstância, ser descrita em termos de um modelo corpuscular.
Por outro lado, quando se desloca no espaço, uma partícula pode experimentar interferência e se difratar ao passar através de fendas estreitas e, nestas circunstâncias, deve ser descrita em termos de um modelo ondulatório.
Segundo o princípio da complementariedade, o modelo ondulatório e o modelo corpuscular são complementares: se uma medida prova o caráter ondulatório de uma partícula, a mesma medida não pode provar seu caráter corpuscular, e vice-versa. A escolha do modelo a usar, se o modelo corpuscular ou o modelo ondulatório, é determinada pelo caráter da medida ou pelo tipo de experimento. Além disso, a compreensão da variedade de fenômenos onde toma parte uma dada partícula está incompleta a menos que se leve em conta tanto o seu caráter ondulatório quanto o seu caráter corpuscular.
A ligação entre os modelos ondulatório e corpuscular é realizada por meio de uma interpretação probabilística da dualidade onda-partícula. A intensidade I de uma onda é definida como a energia que flui por unidade de tempo através de uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação. Para uma onda eletromagnética, por exemplo, se propagando na direção do eixo x, com os módulos dos campos elétrico e magnético dados por:
E = E0 cos [ k ( x - ct ) ]
e
B = B0 cos [ k ( x - ct ) ]
as densidades de energia associadas a esses campos são, respectivamente:
eE = ½ e
0
E2
e
eB = ½ 
0-1
B2
e como as amplitudes E0 e B0 estão relacionadas
por E0 = cB0 e o módulo da velocidade de propagação
é dado por c = [ 0
0
]1/2, segue-se que eB = eE. Então,
a densidade de energia total da onda eletromagnética pode ser escrita
e = 0 E2
e a sua intensidade fica:
I = ce = c 0
E2
Assim, no modelo ondulatório, a intensidade da radiação
eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude E da
onda. Aqui, bem entendido, E representa o vetor campo elétrico instantâneo,
dado pela solução de uma equação de onda obtida
das equações de Maxwell para o eletromagnetismo clássico.
No modelo corpuscular, a intensidade da radiação eletromagnética
é escrita:
I = N h
onde N representa o número de fótons (com energia hn) que cruzam por unidade de tempo uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação.
A ligação entre o modelo ondulatório e o modelo corpuscular se dá pela interpretação de E2 como uma medida do número de fótons por unidade de volume ou, em termos de um único fóton, como a probabilidade, por unidade de volume, de encontrar o fóton numa dada região do espaço num certo instante de tempo.
Isto que se discutiu para os fótons e a radiação eletromagnética vale também para as outras partículas como elétrons, prótons, etc.
O princípio da complementariedade estabelece que os fenômenos
atômicos não podem ser descritos com a completude exigida pela
dinâmica clássica: alguns elementos que se complementam para
constituir uma descrição clássica completa são,
realmente, mutuamente exclusivos, e esses elementos complementares são
todos necessários para a descrição de todos os aspectos
do fenômeno em questão.
Do ponto de vista do experimento, o princípio da complementariedade
assegura que o aparato físico disponível para o sujeito humano
experimentador tem propriedades tais que medidas mais precisas do que o que
estabelece o princípio de incerteza de Heisenberg não podem
ser feitas. E isso não pode ser imputado a deficiências do sujeito
humano experimentador nem a deficiências do seu aparato físico
de medida. É, antes, uma lei da Natureza.
Na física clássica está implícita a idéia de que qualquer grandeza de movimento de uma partícula pode ser medida e descrita de modo exato. Por exemplo, pode-se medir simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula sem perturbar o seu movimento.
De acordo com a física quântica, o ato de medir interfere na
partícula e modifica o seu movimento. Para discutir esta afirmação,
considere-se, como exemplo, a tarefa experimental de fotografar um elétron
em órbita num átomo de hidrogênio. Da ótica sabe-se
que, devido ao fenômeno de difração, dois pontos separados
por uma distância D podem ser resolvidos, ou seja, observados como distintos,
se esta observação for levada a cabo com radiação
eletromagnética de comprimento de onda l menor ou da ordem da distância
D. Como o raio da órbita do elétron no átomo de hidrogênio
é da ordem de um angström (10-10m), para fotografá-lo
é necessário, portanto, radiação eletromagnética
com comprimento de onda
> 10-10 m.
Tomando c = 3,00 x 108 m/s e h = 4,14 x 10-15 eVs
e levando em conta as expressões
= c /
e E = h,
segue-se que a radiação eletromagnética em questão
deve ter uma energia:
E > 1,24 x 104 eV
A energia de ligação do elétron no átomo de hidrogênio é da ordem de 10 eV. Bombardear esse elétron com radiação eletromagnética de energia da ordem de 104 eV para medir sua posição, portanto, perturba completamente sua velocidade. Quanto maior a precisão com que se quer determinar a posição do elétron, menor deve ser o comprimento de onda da radiação eletromagnética a ser empregada e maior a sua energia, de modo que será maior a perturbação na velocidade do elétron. Portanto, maior será a incerteza na velocidade medida para esse elétron. Este fato constitui um exemplo particular de aplicação do princípio de incerteza de Heisenberg.
Como segundo exemplo, considere-se a tarefa de determinar a coordenada x
dos elétrons que se movem ao longo do eixo y (Fig.18), observando se
eles passam ou não através de uma fenda de largura b. A incerteza
x
na medida de tal coordenada é dada pela largura da fenda:
x
b
Os elétrons, ao passar pela fenda, comportam-se como uma onda e,
portanto, produzem o padrão de máximos e mínimos associado
à difração. O movimento dos elétrons é,
portanto, perturbado ao passar pela fenda, de modo que esta introduz uma incerteza
pX
na componente x da quantidade de movimento dos elétrons. Esta componente
é determinada pelo ângulo 
,
correspondente ao máximo central do padrão de difração,
já que é mais provável que a trajetória dos elétrons
esteja contida no ângulo 2.
Usando a expressão sen
=
/ b, da teoria eletromagnética clássica, e a relação
de de Broglie p = h / ,
vem:
pX
pX
p sen
= ( h /
)(
/ b ) h
/ x
ou
pX
x
h
Essa expressão mostra que o produto das incertezas x
e pXé
da ordem de grandeza da constante de Planck. E diminuindo-se uma das incertezas,
a outra cresce na mesma proporção. Assim, por exemplo, um estreitamento
da fenda (diminuição de b) para diminuir a incerteza na medida
da coordenada x dos elétrons, acarreta um alargamento do máximo
central do padrão de difração, ou seja, um aumento na
incerteza da componente x da quantidade de movimento desses elétrons.
Este fato constitui outro exemplo particular de aplicação do
princípio de incerteza de Heisenberg. Pela mecânica clássica,
a perturbação introduzida num sistema qualquer para medir a
posição e a quantidade de movimento de cada partícula
que o constitui pode ser tão pequena quanto se queira e, a partir daí,
pode-se determinar exatamente o movimento subseqüente das partículas.
Pela mecânica quântica, é impossível tal descrição exata no caso de sistemas microscópicos, que envolvem pequenas distâncias e pequenas quantidades de movimento, já que, pelo princípio de incerteza, não se pode determinar simultaneamente, e com precisão arbitrária, a posição e a quantidade de movimento de cada partícula que constitui tais sistemas. Assim, o conceito de órbita, por exemplo, não pode ser mantido numa descrição quântica do átomo, e o que se pode calcular é apenas a probabilidade de encontrar um ou outro elétron numa dada região do espaço nas vizinhanças de um núcleo atômico. Tais distribuições de probabilidade constituem o que se chama de orbitais atômicos.
No final do século XIX, o elétron já estava estabelecido como partícula fundamental principalmente depois que, em 1897, J. J. Thomson determinou a sua razão carga/massa. E sabia-se que elétrons eram liberados por emissão termoiônica (de um metal a alta temperatura), no efeito fotoelétrico e no decaimento b de certos elementos radioativos. Evidentemente que os elétrons podiam ser considerados como constituintes básicos dos átomos.
No modelo de J. J. Thomson, proposto em 1904, o átomo era considerado como um tipo de fluido com uma distribuição esférica contínua de carga positiva onde se incrustavam um certo número de elétrons, com carga negativa, o suficiente para neutralizar a carga positiva (Fig.19). O modelo tinha como hipótese a existência de configurações estáveis para os elétrons ao redor das quais estes oscilariam. Contudo, segundo a teoria eletromagnética clássica, não pode existir qualquer configuração estável num sistema de partículas carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético.
Além disso, como qualquer partícula com carga elétrica em movimento acelerado emite radiação eletromagnética, o modelo tinha como outra hipótese que os modos normais das oscilações dos elétrons deveriam ter as mesmas freqüências que aquelas que se observavam associadas às raias dos espectros atômicos. Mas não foi encontrada qualquer configuração para os elétrons de qualquer átomo cujos modos normais tivessem qualquer uma das freqüências esperadas. De qualquer modo, o modelo de Thomson foi abandonado principalmente devido aos resultados do experimento de Rutherford.
Na época em que J. J. Thomson propôs seu modelo, H. Geiger e E. Marsden estudavam o espalhamento de feixes bem colimados de partículas a, que já se sabia serem núcleos de átomos de hélio (He++), por finas folhas de ouro, pelo que hoje se conhece como o experimento de Rutherford (Fig.20). Uma fonte radioativa emite partículas a que são colimadas, formando um feixe paralelo e estreito, que incide sobre uma folha metálica muito pouco espessa.
Para que fosse possível construir tal folha, a maleabilidade do metal
deveria ser grande e, por isso, era usado normalmente o ouro. A folha é
tão fina que as partículas a atravessam completamente com apenas
uma pequena diminuição no módulo da velocidade. Ao atravessar
a folha, entretanto, cada partícula a sofre muitos desvios devido a
sua interação eletrostática com as cargas positivas e
negativas dos átomos da folha. As partículas espalhadas eram
detectadas por um microscópio com uma tela de sulfeto de zinco (ZnS).
A tela de sulfeto de zinco cintila no local onde incide uma partícula
.
O microscópio permite identificar a cintilação de cada
partícula
individualmente. Os resultados experimentais de Geiger e Marsden mostraram
que o número de partículas a que eram desviadas com ângulos
de 90o ou maiores (Fig.21(a)) era muito maior que o esperado pelo modelo de
Thomson (Fig.21(b)).
Em 1911, E. Rutherford mostrou que os dados de Geiger e Marsden eram consistentes com um modelo atômico em que a carga positiva do átomo se concentrava em uma pequena região que, além disso, continha praticamente toda a massa do átomo (Fig.21(a)). Os elétrons, por esse modelo nuclear, giravam ao redor dessa pequena região (chamada núcleo) como os planetas ao redor do Sol, só que governados pela interação eletrostática e não gravitacional. E pelas leis de Newton. Assim, tomando um referencial fixo no núcleo, para o elétron em uma órbita circular estável, a força centrípeta deve ser a força eletrostática:
mv2 / R = ( 1 / 4
0
)[ ( Ze ) e / R2 ]
ou:
v2 = Ze2 / 40mR
Qualquer órbita para a qual essa equação fosse satisfeita seria uma órbita estável. Esse modelo encontrava, contudo, um sério obstáculo para ser aceito. Segundo a teoria eletromagnética clássica de Maxwell, uma partícula carregada em movimento acelerado deveria emitir radiação eletromagnética e, através dela, perder energia. Como resultado dessa perda de energia, um elétron em órbita ao redor de um núcleo perderia gradativamente sua energia e sua órbita não poderia ser estável e sim, uma espiral que terminaria no núcleo. Além disso, durante seu movimento espiralado, que duraria no máximo 10-6 s, a velocidade angular do elétron cresceria continuamente e, com ela, cresceria, também, a freqüência da radiação emitida.
