Perfil de um comportamento tipo M.H.S.
Oscilando em torno de um ponto central, apresentando uma variação de espaço maior nas proximidades do ponto central do que nas extremidades. Você saberia dizer qual o tipo de função representada em nosso esquema? Esse formato característico pertence a que tipo de funções?
Uma explicação para esse tipo de gráfico obtido poderia sair de uma análise das forças existentes no sistema massa-mola, mesmo que a compreensão total da mesma somente possa ser entendida a fundo a nível universitário.
Sabendo-se que a força aplicada no bloco m do nosso sistema massa-mola na direção do eixo X será igual à força restauradora exercida pela mola sobre o bloco na posição X aonde o mesmo se encontrar (3a. Lei de Newton) podemos escrever a seguinte equação:
F (X) = - kX
Passando o segundo termo para o primeiro membro temos:
F (x) + kX = 0
Usando da 1a. Lei de Newton sabemos que F(X) = ma(X), tendo nós agora:
ma(X) + kX = 0
Podemos perceber também que X = X(t) já que a posição de X varia com o tempo enquanto o nosso sistema oscila, ficando a nossa equação:
ma(X(t)) + kX(t) = 0
É possível se ver em um curso de Cálculo Diferencial e Integral a nível superior que em sistemas dependentes do tempo como este podemos aplicar uma função de função chamada derivada aonde podemos dizer que a(X(t)) = d^2X(t)/d^2t, ou seja, que a derivada segunda de X em relação ao tempo é igual à aceleração de nosso sistema. Tendo a nossa equação o seguinte aspecto agora:
m(d2X(t)/d2t) + kX(t) = 0
Onde a solução desta equação sendo chamada de equação diferencial é a função de movimento de nosso sistema massa-mola. Apesar de não termos conhecimentos para resolve-la, comentários podem ser feitos sobre a mesma para termos uma idéia de como se resolve. Primeiro vamos tentar entender melhor o que seja uma derivada. Em uma função você sempre dá um número e a função lhe devolve outro número. A derivada que é uma função de função não é muito diferente, você lhe dar uma função e ela lhe dá outra função. Sendo a derivada segunda de uma função, o resultado depois de ter passado duas vezes uma função por uma derivada. Passado esse ponto vamos tentar entender melhor o que seja resolver uma equação diferencial. Você sabe resolver uma equação de 2o. Grau não sabe? Pois bem, você deve se lembrar que você tem algo do tipo:
aX2 + bX + c2 = 0
E que a idéia de resolver a equação de segundo grau é encontrar valores de X que satisfaçam a equação, ou seja, que se forem substituídos na expressão acima ela será igual a zero. Você se lembra do procedimento do algoritmo, não?
delta = b2 - 4ac X = (-b ± ((delta)1/2))/2a
Onde você encontra aos valores que satisfazem a equação de 2o. Grau. Pois bem, a idéia de resolver uma equação diferencial não é muito diferente, somente que em vez de valores você deverá encontrar as funções que satisfazem a equação diferencial, funções que quando substituídas na equação diferencial no nosso caso dê uma expressão final igual a zero. Mesmo sem sabermos como resolver à equação, posso dizer que um conjunto de funções que a resolve são funções do tipo seno e coseno, o que corrobora muito bem com o esquema apresentado no começo da seção.
Em outras palavras, a nossa função de movimento X(t) terá a forma A cos(wt + ø) ou A sen(wt + ø), ou seja, X(t) = A cos(wt + ø) ou X(t) = A sen(wt + ø).
Onde A é amplitude do nosso M.H.S, que seria o deslocamento máximo realizado pelo bloco em relação à posição de equilíbrio, w é a freqüência angular do nosso movimento periódico em radianos por segundo (w = 2*p*f, sendo f o número de vezes que o ciclo se repete a cada unidade de tempo), t é a nossa grandeza de tempo, e ø é uma fase ou deslocamento angular acrescida ao nosso M.H.S. Não existe grande diferença entre uma função seno ou coseno se virmos pela questão de que uma função seno ou coseno se transforma na outra ou essa multiplicada por (-1) se deslocarmos 90 graus ou p/2 uma em relação à outra.
Uma outra forma para se ver que a equação de movimento do M.H.S. é do tipo seno ou coseno é a partir da projeção do Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) sobre o eixo x, onde sabemos que projeções são feitas a partir das funções seno e coseno.
Projeção do M.C.U. sobre o M.C.U. com uma diferença de fase ø.
M.C.U. eixo x produzindo um M.H.S.
A função obtida é do tipo seno ou coseno.
O comportamento dessa equação de movimento pode ser mais bem compreendido ao tratarmos também outros parâmetros importantes como a velocidade, a aceleração, a dinâmica e a energia no M.H.S.
A partir da projeção do vetor velocidade no M.C.U. (usando de um pouco de conhecimentos de trigonometria) também podemos deduzir que a função velocidade também será do tipo seno ou coseno, sendo somente que v(t) = -wA sen(wt + ø) ou v(t) = wA cos(wt + ø), o que também pode ser escrito v(t) = ±wX(t).
Em um curso de Cálculo Diferencial e Integral poderemos ver que a função velocidade é a derivada da função deslocamento em relação ao tempo, ou seja, que dX(t)/dt = v(t). E que disso, poderemos deduzir que v(t) = dX(t)/dt = -wA sen(wt + ø) ou wA cos(wt + ø), considerando que X(t) será igual a A cos(wt + ø) ou a A sen(wt + ø).
Vetores Velocidade e Aceleração do M.C.U.
Gráficos da função deslocamento,
função velocidade e função aceleração
do M.H.S.
Entretanto, podemos fazer uma análise dimensional e verificar a coerência da forma apresentada. Podemos usar uma análise dimensional para verificar se em termos de unidades a expressão é coerente. Por exemplo, os termos cos(wt + ø) e sen(wt + ø) são termos adimensionais, ou seja, não são representarmos em termos de m/s, m/s2, kg, N, oC, J ou qualquer unidade física, são apenas números que no caso dessas funções apenas assumem valores que vão de (-1) a 1.
A amplitude A no entanto está representando o valor máximo de deslocamento do nosso sistema massa-mola em relação à posição de equilíbrio em unidades de distância, que no nosso caso usaremos o m. A freqüência angular w, que é igual a 2*p*f, onde a freqüência linear f é dada em termos de 1 sobre a nossa unidade de tempo t ,(1/t), já que f dá o número de repetições de ciclos em uma unidade de tempo t, também será dada em termos de 1 sobre a unidade de tempo t já que 2*p também é adimensional. A nossa unidade de tempo no caso será o segundo. A expressão será coerente dimensionalmente se as unidades do primeiro membro forem iguais a do segundo membro. Ou seja, que as unidades do segundo membro dêem a unidade m/s que é correspondente à grandeza velocidade.
udo isso pode ser escrito da seguinte maneira: 1o. Membro: [v] = m/s 2o. Membro: [A][w] = m * 1/s = m/s
Então dimensionalmente, a expressão é coerente. A análise dimensional não permite definir se existem constantes ou outros termos adimensionais multiplicando as grandezas, mas com certeza é uma ferramenta útil para dirimir discrepâncias e vermos a coerência de expressões. Para a aceleração do M.H.S. também podemos ver que a mesma é do tipo seno ou coseno a partir da projeção do vetor aceleração do M.C.U., somente que a sua expressão é dada por a(t) = -(w2)A cos(wt + ø) ou -(w2)A sem(wt + ø). A partir de um curso de Cálculo Diferencial e Integral também podemos ver que a aceleração é a derivada segunda em relação ao tempo da função deslocamento X(t), ou seja, que a(t) = dv(t)/dt = d(dX(t)/dt)/dt = d2X(t)/dt = -(w2)X(t), de onde podemos deduzir que a(t) = -(w2)A cos(wt + ø) ou -(w2)A sen(wt + ø); mas podemos fazer uma análise dimensional para a função aceleração assim como fizemos para a função velocidade.
Assim sendo:
1o. Membro: [a] = m/(s2) 2o. Membro: [A][w2] = [A][w][w] = m * 1/s * 1/s = m * 1/(s2) = m/(s2) O que comprova que a equação dimensionalmente é coerente.
A essa altura você deve estar se perguntando como podemos saber qual é o valor de w?
Posso dizer que w, que é a nossa freqüência angular, determinando a variação angular do nosso oscilador no tempo, que está diretamente relacionado a nossa freqüência linear f, que determina o número de ciclos realizados por nosso oscilador em uma unidade de tempo, dependerá do fator de restauração k da mola e do fator de inércia m do bloco, ambas respectivamente com unidades físicas de [k] = N/m e [m] = kg. Como [w] = 1/s, podemos encontrar uma maneira de arranjar as grandezas físicas k e m de maneira a termos uma expressão aproximada para w.
De antemão já digo que essa expressão será obtida tirando-se a raiz quadrada da razão de k/m, ficando:
(([k]/[m])1/2) = (((N/m)/kg)1/2) = ((((kg * m/(s2))/m)/kg)1/2) = = ((((kg/m)*(m/(s2)))/kg)1/2) = (((kg/(s2))/kg)1/2) = (((kg/kg)*(1/(s2)))1/2) = = ((1/(s2))1/2) = 1/s
onde já poderíamos considerar pela análise dimensional que uma expressão próxima da que determinasse w seria w ~ ((k/m)1/2), o que não permite sabermos se existiriam termos adimensionais ou constantes, mas experimentalmente já fora comprovado a bastante tempo que realmente w = ((k/m)1/2).
Na próxima seção, compreendermos como se dá o processo de conservação de energia dentro do sistema massa-mola, como se dão as conversões de energia potencial em cinética e vice-versa, antes de chegarmos a Dinâmica do M.H.S., onde poderemos ver algumas variações do nosso sistema massa-mola apresentado.
