Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.
Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.
Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.
O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica
b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …
os termos da progressão aritmética
1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...
então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.
Considerando, por exemplo,
Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:
256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;
como 8+5=13,
13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.
Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma
simples operação de adição.
A fim de que os números da progressão geométrica estivessem
bem próximos, para ser possível usar interpolação
e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida,
evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número
= 0,9999999, que
é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele
multiplicava cada potência
por 107. Então, se 
, ele chamava L de "logaritmo" do número N.
Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de 
é 1.
Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.
Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.
Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.
Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.
Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.
Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.
A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.
Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:
Fonte: www.cepa.if.usp.br
Se você não tem a menor idéia do que seja um logarítmo,
não se preocupe! logarítimo
Afinal você está na InterAula e aqui nós sabemos da sua
dificuldade.
Vamos começar, dando uma olhada na tabela abaixo:
| Base | Expoente | Potência | Como se calcula a Potência | Comentários | |
| Olhando esta linha você pode notar que quando temos como base 2 e expoente 3 podemos formar a potência 23 (lê-se assim: dois ao cubo ou então dois elevado a terceira potência). |
2 | 3 | 23 | 2 x 2 x 2 = 8 |
Para calcular esta potência |
Fonte: www.interaula.com
Então o expoente 3 aqui ao lado nada mais é que o logaritmo de 8 na base 2.
Vamos logo ver um exemplo de exercício bem simples ? Vamos lá!
1) Calcule log2 8.
Vimos que em português claro isto significa: calcule o logaritmo de 8 na base 2.
E, em português mais claro ainda, isto significa:qual o expoente que devemos usar para que o 2 elevado a este expoente nos dê o número 8 ?
Vamos ver se a gente está entendendo do assunto...
2) Calcule log4 16 .
Vimos que em bom português isto significa: Qual o (__________) a que
devemos elevar a base (__________) para obtermos o número 16. Vimos
ainda que matematicamente escreve-se assim: 4x = 16.
Para calcular basta (__________) o 16 e substituirmos na equação. Assim, ficaremos com 4x = 42 pois 16 fatorado nos dá exatamente 42.
Finalmente vimos que em equações deste tipo (4x = 42) , cujas
bases das potências são iguais, basta igualarmos os expoentes:
x=2.
Resposta: 2 ou log4 16 = 2 pois 42 = 16
- "Tô começando a entender !!!!"
Parabéns pelo que você já aprendeu, até aqui, sobre logaritmos, contudo precisamos fazer 2 alertas para que a gente não se dê mal nas provas:
Não tem sentido calcular logaritmo de número menor ou igual a zero.
Todas as base devem ser maiores que zero e diferentes de 1
Todos os 4 exemplos ao lado estão resumidos nos alertas acima. Entenda-os para que possa fixá-los bem.
Log2 0 = Qual o logaritmo de zero na base 2 ?
Ou seja: qual o número que servirá de expoente para o 2 de forma
a obtermos o número zero ? Se a gente tentar calcular veremos que não
existe.
Log2 -1 = Qual o logaritmo de -1 na base 2 ?
Certamente que não encontraremos resultado válido pois não
existe um expoente que sirva à base 2(positiva), para dar origem ao
número -1
Log0 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 0 ?
Zero elevando a quanto vai dar 2 ?... Não existe!
Log1 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 1 ?
Se a gente tentar calcular veremos que qualquer que seja o expoente a gente
sempre obterá 1. Logo também não existe.
Existem 3 propriedades dos logaritmos que são muito úteis para se resolver muitos dos problemas que enfrentaremos. Vejamos:
Logaritmo do produto
Logaritmo do quociente
Logaritmo da potência
Quando precisarmos calcular logaritmos de produto ou quociente ou potência, poderemos aplicar as regras que veremos agora.
Não esqueça: P.Q.P é Produto, Quociente ou Potência.
Logaritmos - Propriedades 005
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um produto, digamos 8x4, ou seja log2 (8.4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois somar. O resultado desta soma será o logaritmo de 8x4.
Vamos calcular log28 e log24.
Log28 = 3 pois 23 = 8 e log24 = 2 pois 22 = 4.
Para calcularmos log2 (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:
log2 (8.4) = Log28 + log24
log2 (8.4) = 3 + 2
log2 (8.4) = 5
Regra Geral para calculo de logaritmos de produto:
Loga(b.c) = log a b + log a b
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores
Observe que
log2 (8.4) = log2 (32) = 5
Neste caso foi fácil fazer a multiplicação, mas quando esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,
Logaritmo do quociente
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um quociente, digamos 8/4, ou
seja log2 (8/4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4,
separadamente, e depois subtrai-los. O resultado desta subtração
será o logaritmo de 8/4.
Vamos calcular log28 e log24.
Log28 = 3 pois 23 = 8 e log24 = 2 pois 22 = 4.
Para calcularmos log2 (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:
log2 (8/4) = Log28 - log24
log2 (8/4) = 3 - 2
log2 (8/4) = 1
Regra Geral para calculo de logaritmos de quociente:
Loga(b/c) = log a b - log a b
O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos do numerador e do denominador.
Observe que
log2 (8/4) = log2 (2) = 1
Neste caso foi fácil fazer a divisão. Mas quando esta divisão não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,
Logaritmo da potência
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de uma potência, digamos,
25 , ou seja log2 (25) é só a gente calcular o logaritmo de
da base e depois multiplicar pelo expoente. O resultado desta operação
será o logaritmo de 25.
Vamos calcular log22
Log22 = 1 pois 21 = 2
Para calcularmos log2 (25), basta multiplicarmos o expoente 5 pelo logaritmo de 2 que acabamos de calcular:
log2 (25) = 5. log22
log2 (25) = 5 . 1
log2 (25) = 5
Regra Geral para calculo de logaritmos de potência:
Loga(bc) = c. log a b
O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.
Observe que
log2 (25) = log2 (32) = 5
Neste caso foi fácil calcular a potência, mas quando esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,
Logaritmos - Nomenclatura 008
Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.
Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10, veja:
Isto significa: "Logaritmo de 100 na base 10"
Alguém poderia perguntar: E cadê a base ? Resposta: Quando o
logaritmo é decimal, ou seja a base é 10 não é
preciso escrevê-la pois todo mundo já sabe que vale 10.
Mas a gente não sabia ? Então agora nós já sabemos também !
- "Isso é moleza !"
Logaritmos - Mudança de base 009
Calcule log9 27 (logaritmo de 27 na base 9).
Se tentarmos descobrir qual o expoente que elevará a base 9 para obtermos
27 veremos que é um pouco complicado...contudo existe uma maneira mais
fácil: A mudança de base.
Como se faz isto ? Simples: calule o log de 27 na nova base e divida pelo log de 9 na nova base também. Veja ao lado:
O importante é a gente escolher uma base que possibilite calcular os logaritmos tanto do 27 como do 9 (base inicial). Ah! Essa nova base deverá ser a mesma para os dois. Veja ao lado!
log3 27
________ = 3/2
log3 9
Desta forma, log9 27 = 3/2
Fonte: www.matematicamagica.hpg.ig.com.br
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.
Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2
o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que
2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0
Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica
e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática
traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas
de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático
inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532
, podemos concluir pela definição de logaritmo que
101,6532 = 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.
P3) logbbk = k , porque bk = bk .
P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores,
ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a
diferença entre os logaritmos do numerador da fração
e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b,
ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk =
k.logbM.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5
= 125.
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança
de base são as seguintes:
a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser
indicada).
b) logba . logab = 1
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ¹ 1
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.
Vamos determinar a função inversa da função y
= ax , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay \ y = logax
Portanto, a função logarítmica é então:
f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.
Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial
( y = ax ) e logarítmica
( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo
as funções, inversas, os seus gráficos são curvas
simétricas em relação à bissetriz do primeiro
e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação
à reta y = x.
Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:
1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica
são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto
R+* .
4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto
R dos números reais.
5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R
dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+*
.
7 - observe que o domínio da função exponencial é
igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que
o domínio da função logarítmica é igual
ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque
as funções são inversas entre si.
Fonte: www.terra.com.br
