Consideremos uma corda ao longo do eixo X, com uma das extremidades fixa em x = 0, ao longo da qual se propaga uma onda transversal no sentido contrário àquele tomado como positivo para o eixo. Ao alcançar o ponto 0, a onda é refletida, propagando-se no sentido contrário. As ondas incidente e refletida são descritas por:
yI(x,t) = A sen (kx + 
t)
e
yR(x,t) = A' sen (kx - t)
O movimento de qualquer partícula da corda é o resultado da superposição das duas ondas e é descrito por:
y (x,t) = A sen (kx + t)
+ A' sen (kx - t)
Como a partícula da corda em x = 0 permanece em repouso, y (0,t) = 0 para qualquer t. Usando a propriedade trigonométrica sen (- a) = - sen a temos que 0 = (A - A') sen wt e daí, A = A', ou seja, além de uma diferença de fase de p rad uma em relação à outra, as ondas incidente e refletida têm a mesma amplitude. E como:
sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A - B)]
temos:
y (x,t) = 2A sen kx cos t
Como as fases (kx + t)
e (kx - t)
não aparecem em y(x,t), a expressão acima não descreve
uma onda viajante mas o que se chama de onda estacionária. Observe
que todas as partículas da corda descrevem movimentos harmônicos
simples de mesma freqüência [y ~ cos t]
e que a amplitude de cada movimento [2A sen kx] depende da posição
da partícula em questão.
A amplitude da onda estacionária é nula para kx = np onde
n = 0, 1, 2, ... Como k = 2
/
,
podemos escrever:
x = n (
/ 2)
Os pontos dados por essa expressão são chamados nós.
Dois nós consecutivos estão separados por uma distância
/2.
O comprimento de onda
é determinado pela freqüência e pela velocidade de propagação,
pela fórmula
= v/f.
Se em x = L a corda tem a outra extremidade fixa, y (L,t) = 0 para qualquer
t. Então, 0 = 2A sen kL cos t,
ou seja, sen kL = 0, kL = n'
onde n' = 1, 2, 3, ... e:
= 2L / n'
Essa expressão dá os comprimentos de onda das ondas estacionárias possíveis na corda. As freqüências possíveis são dadas por:
f = n' (v / 2L)
e as posições dos nós, por:
x = nL / n'
com n = 0, 1, 2, ... n'. A animação mostra a forma variável
de uma corda com uma onda estacionária para n' = 2, ou seja,
= L, com três nós (n = 0, n = 1 e n = 2, sendo dois desses nas
extremidades fixas). Podem existir ondas estacionárias com qualquer
número de nós.
Observações
Em uma onda harmônica progressiva, todas as partículas do meio executam movimentos harmônicos simples com a mesma amplitude. Em uma onda estacionária, as amplitudes dependem das posições das partículas.
As ondas que se movem em sentidos contrários (ao longo da corda, por exemplo) produzem ondas estacionárias mesmo se têm amplitudes diferentes.
Não pode haver fluxo de energia através dos nós. Assim, não pode haver fluxo de energia ao longo da corda quando sobre ela existe uma onda estacionária. Cada partícula do meio executa o seu particular movimento harmônico simples sem perder ou ganhar energia das partículas vizinhas.
A discussão acima foi baseada nas ondas transversais em uma corda por motivos didáticos. Ondas estacionárias podem aparecer tanto associadas a ondas transversais quanto a ondas longitudinais.
Um arranjo experimental interessante para observar os fenômenos mais comuns característicos das ondas, quais sejam, a reflexão, a refração, a interferência e a difração, é o que se chama de cuba de ondas. O arranjo consiste no seguinte. Uma cuba rasa, transparente, com água a uma profundidade de 1 cm, com uma fonte de luz intensa iluminando o fundo da cuba, de baixo para cima, e um espelho, colocado sobre a cuba, de modo a refletir as sombras produzidas pelas perturbações na água numa tela fixa em uma parede vertical. A cuba com água pode ser colocada, por exemplo, em um retro-projetor. Uma pequena esfera, mergulhada periodicamente na água, ou gotas pingadas com um conta-gotas, são fontes convenientes de ondas.
Em baixas freqüências, o comprimento de onda da onda produzida na água da cuba pode ter vários centímetros. Nessas condições, o módulo da velocidade de propagação da onda é dado pela expressão v = (gh)1/2, onde g representa o módulo da aceleração gravitacional e h, a profundidade da água na cuba. Portanto, quanto mais rasa for a água, menor será a velocidade de propagação. Assim, uma régua, por exemplo, deitada sobre o fundo da cuba, junto a uma parede vertical, eliminará reflexões indesejadas nessa parede.
Consideremos as ondas bidimensionais produzidas na superfície da
água de uma cuba de ondas por uma seqüência de gotas que
caem no mesmo ponto. As circunferências (em perspectiva) representem
as cristas das ondas, ou seja, os pontos do meio com elongação
máxima relativamente à posição de equilíbrio.
Todos esses pontos oscilam em fase. Os pontos sobre qualquer circunferência
com centro no ponto de origem das ondas oscilam em fase. Quando as ondas se
propagam não pela superfície, mas pelo interior do meio, o conjunto
de pontos que oscilam com a mesma fase constituem uma superfície. Se
o meio é isotrópico, de modo que o módulo da velocidade
de propagação da onda é o mesmo qualquer que seja a direção
de propagação, a superfície tem a forma esférica
e a onda é chamada de onda esférica.
O lugar geométrico contínuo dos pontos do meio que oscilam em
fase é chamado superfície ondulatória. A superfície
ondulatória que vai mais adiante, ou seja, que está mais afastada
da fonte das ondas, é chamada frente de onda.
Toda linha ao longo da qual se propaga a frente de onda se chama raio. Em um meio isotrópico, todo raio é uma linha reta perpendicular às superfícies ondulatórias. Toda reta que sai do ponto de origem das ondas e passa por qualquer ponto da frente de onda é um raio.
A velocidade de propagação de uma onda depende das propriedades físicas do meio através do qual ela se propaga. Esse fato é a base dos fenômenos de reflexão e refração, que acontecem quando a onda alcança a superfície de separação de dois meios. A onda refletida é a onda que volta pelo mesmo meio onde se propagou a onda incidente. A onda refratada é a onda que se propaga pelo outro meio. A energia da onda incidente fica em parte na onda refletida e em parte na onda refratada. No caso da reflexão especular, a maior parte da energia fica na onda refletida.
O fenômeno de reflexão de ondas pode ser observado em uma cuba de ondas colocando-se uma régua com parte acima da superfície da água e deixando-se cair uma seqüência de gotas para produzir ondas sobre essa superfície. Seja O, o ponto onde as gotas atingem a superfície da água, originando as ondas, e O', o ponto simétrico a O em relação à superfície da régua onde as ondas se refletem. As ondas refletidas têm forma como se fossem emitidas de O'. Seja A um ponto qualquer sobre a superfície da régua e AD, um segmento perpendicular à superfície da régua em A. A linha OA é o raio incidente no ponto A e a linha AC, o correspondente raio refletido.
Seja i o ângulo de incidência, r, o ângulo de reflexão, i*, o ângulo entre a régua e AO' e r*, o ângulo entre a régua e AO. Como i + r* = 90º e como r* = i*, já que os pontos O e O' são simétricos, temos:
i + i* = 90º
e como r + i + r* + i* = 180o, com i + r* = 90º temos também:
r + i* = 90º
Comparando as duas expressões segue-se que i = r, ou seja, o ângulo
de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Refração
O fenômeno da refração de ondas, isto é, a mudança na velocidade de propagação das ondas quando da passagem de um meio para outro, pode ser observado em uma cuba de ondas colocando-se algum objeto como um pedaço de vidro plano sobre parte do fundo da cuba, reduzindo sobre ele a profundidade da água (região 2), e deixando-se cair uma seqüência de gotas em algum ponto da outra região (região 1), de modo a produzir ondas sobre a superfície da água (figura(a)). Assim, quando as ondas vindas da região 1 entram na região 2, onde a água tem menor profundidade, a velocidade de propagação fica menor.
Seja O o ponto da região 1 onde as gotas atingem a superfície da água, originando as ondas, OAA', um raio perpendicular à linha de separação entre as duas regiões consideradas e OBB', um raio genérico. A refração não vem acompanhada, necessariamente, de mudança de direção, como se pode ver pelo raio OAA' considerado. Só existe mudança de direção se o raio incidente não é perpendicular à superfície de separação entre os dois meios considerados.
Durante
o mesmo intervalo de tempo 
t,
as ondas se deslocam uma distância como a de E para F na região
1 e de B para C na região 2, e pode-se pensar que um ponto onde a onda
passa de uma região para outra se desloca uma distância como
a de B para F. Seja DD' a reta perpendicular à linha de separação
entre as regiões 1 e 2 no ponto B (figura (b)). Seja i o ângulo
de incidência e r, o ângulo de refração. Tomando
t
pequeno, podemos considerar BEF e BCF como triângulos retângulos,
com hipotenusa comum BF. O ângulo em B no triângulo BEF é
igual a i e o ângulo em F no triângulo BCF é igual a r.
Então:
sen i = 1
/ BF
e
sen r = 2
/ BF
onde 1
e 2
são os comprimentos de onda nas regiões 1 e 2, respectivamente.
Agora, a freqüência das ondas não muda de uma região
para outra, já que é característica da fonte, de modo
que a relação f = v/l permite escrever:
v1 / 1
= v2 /2
Isolando BF nas duas expressões acima e usando esta última, vem:
sen i / sen r = 1
/ 2
= v1 / v2 = constante
O cociente v1/v2, simbolizado por n21, é chamado índice de refração da região 2 em relação à região 1. Assim:
n21 = sen i / sen r
O princípio de Huygens é uma construção puramente geométrica que permite determinar a posição futura de uma frente de onda a partir de sua posição em um instante dado. Todos os pontos de uma frente de onda são considerados como fontes de ondas esféricas secundárias. A nova frente de onda, em um instante de tempo posterior, é a envolvente dessas ondas secundárias como se apresentam nesse instante. A título de exemplo, a figura representa a refração de uma onda plana que passa do meio 1 para o meio 2, mostrando nove frentes de onda geradas segundo o princípio de Huygens e um raio, evidenciando a mudança de direção quando a incidência não é perpendicular à superfície de separação entre os meios. Em cada frente de onda foram representados apenas quatro pontos que atuam como fontes de ondas secundárias, de cada uma das quais apenas uma pequena parte aparece. A velocidade de propagação da onda fica menor quando ela entra no meio 2, de modo que o comprimento de onda nesse meio é menor que o comprimento de onda no meio 1.
O princípio de Huygens pode ter sentido como modelo físico para a propagação de uma onda elástica que resulta da vibração de átomos ou moléculas em um meio qualquer. Contudo, esse princípio não tem sentido como modelo físico em casos como o de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, por exemplo, onde não existem partículas que possam vibrar.
Difração é o fenômeno pelo qual uma onda é distorcida por um obstáculo. Este obstáculo pode ser um pequeno objeto que bloqueia a passagem de uma parte da frente de onda ou uma fenda que permite a passagem de apenas uma parte da frente de ondas. A difração pode ser observada em uma cuba de ondas, por exemplo, obstruindo-se a passagem das ondas com duas lâminas metálicas separadas por uma abertura entre elas, e provocando ondas planas numa das regiões assim definidas. Quando a abertura tem dimensão muito maior que o comprimento de onda das ondas que se propagam na água da cuba, as ondas quase não se propagam atrás dos obstáculos (figura (a)). Quando a abertura tem dimensão pequena, as ondas rodeiam as bordas dos obstáculos (figura (b)) e quando a abertura tem dimensão comparável ao comprimento de onda, as ondas rodeiam as bordas dos obstáculos de tal modo que, atrás deles, a superfície da água fica quase completamente perturbada pelas ondas (figura (c)). Nesse caso, a abertura parece ser uma fonte independente de ondas que se propagam atrás dos obstáculos, em todas as direções.
As dimensões do objeto ou da abertura para as quais se observa a difração dependem do comprimento de onda: quanto menores tais dimensões frente ao comprimento de onda, tanto mais notável é a difração. Quando as dimensões do obstáculo ou da abertura são comensuráveis com o comprimento de onda, a difração se manifesta nas proximidades de tal obstáculo ou abertura (figura (c)).
A difração pode ser compreendida pelo princípio de Huygens. Consideremos a frente de onda que chega a uma abertura, por exemplo. Todos os pontos dessa frente de onda se comportam como fontes de ondas secundárias. As ondas secundárias originadas nos pontos que se encontram frente aos anteparos que formam a abertura são bloqueadas por esses mesmos anteparos e a forma da frente de onda na região além da abertura fica determinada pelas ondas secundárias não bloqueadas.
Caso alguns pulsos sejam emitidos com uma dada freqüência, as correspondentes frentes de onda são superfícies esféricas (figura esquerda). Para um observador em O ou em O', por exemplo, em repouso em relação à fonte, as frentes de onda são concêntricas e igualmente espaçadas, isto é, chegam até ele com a mesma freqüência com que os pulsos são emitidos. Caso os pulsos sejam emitidos enquanto existe movimento relativo entre a fonte e o observador, as correspondentes frentes de onda deixam de ser concêntricas para o observador (figura direita). As frentes de onda chegam ao observador em A com uma freqüência menor e ao observador em A', com uma freqüência maior do que aquela com que os pulsos foram emitidos. Essa mudança na freqüência devido ao movimento relativo entre a fonte e o observador é chamada efeito Doppler.
O efeito Doppler aparece, por exemplo, quando o som da sirene de uma ambulância parece mais agudo ao se aproximar e mais grave ao se afastar de nós, comparado àquele que escutamos com ela parada. Esse efeito aparece também quando se observa a luz de uma estrela. Se a estrela está se aproximando da Terra, seus raios luminosos são vistos com freqüências maiores (desvio para o azul) e se a estrela está se afastando da Terra, seus raios luminosos são vistos com freqüências menores (desvio para o vermelho). O aumento das freqüências dos raios luminosos se chama deslocamento para o azul porque se dá na direção das freqüências mais altas, correspondendo, no espectro, à cor azul, e a diminuição das freqüências dos raios luminosos se chama deslocamento para o vermelho porque se dá na direção das freqüências mais baixas, correspondendo, no espectro, à cor vermelha.
Quando um objeto se move na atmosfera ele gera ondas de pressão esféricas, ondas essas que se propagam com a velocidade das ondas sonoras. Em particular, as cristas das ondas geradas pelo objeto ficam tão mais próximas umas das outras à frente do objeto e tão mais afastadas atrás dele quanto maior for a velocidade do objeto em relação à atmosfera. Se a velocidade do objeto estiver próxima da velocidade das ondas sonoras, as cristas à frente se sobrepõem, formando uma crista única, de amplitude bem maior do que a amplitude de qualquer das ondas originais. Assim, à frente do objeto, a pressão atmosférica fica bem maior do que o seu valor normal. Quando o objeto se move à velocidade das ondas sonoras, a crista única passa a ter uma amplitude muito grande e recebe o nome de onda de choque. No caso de um avião, cada ponto de sua superfície externa se comporta como uma fonte de ondas de pressão e quando a velocidade do avião se aproxima da velocidade das ondas sonoras, começam a se formar ondas de choque sobre as asas e perto do nariz. Isso representa um grande obstáculo ao vôo já que aparecem problemas estruturais e de pilotagem, além de uma grande resistência ao avanço do avião devido a grande pressão do ar a sua frente. Todas essas dificuldades constituem o que se costuma chamar de barreira do som.
Ao nível do mar e a 15 ºC, a velocidade das ondas sonoras na atmosfera é de cerca de 344 m/s. A razão entre a velocidade de um objeto e a velocidade das ondas sonoras é o número de Mach (M). Velocidades para as quais M < 1 são chamadas subsônicas e velocidades para as quais M > 1 são chamadas supersônicas. As dificuldades ao vôo apontadas acima ficam bastante reduzidas para velocidades tais que M > 1,2 porque, nessas velocidades, as ondas de choque aparecem destacadas do avião, um pouco a sua frente.
Fonte: www.ufsm.br
