triângulo equilátero

Problema: Construir um triângulo equilátero ABC no plano cartesiano sabendo-se que existe um ponto P que está distante 7 unidades de A, 6 unidades de B e 8 unidades de C e ao final obter a sua área.

Solução: Embora a solução esteja apresentada na sequência, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolvê-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este é um problema simples na sua proposição mas envolve muita matemática para a sua resolução.

Vamos supor que exista um triângulo equilátero com lado de comprimento igual a u unidades. Podemos construir este triângulo com os vértices nos pontos A=(0,0), B=(u,0) e C=(u/2,u.R[3]/2) do plano cartesiano. Aqui R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Pela informação do problema, existe um ponto P=(v,w) localizado a distâncias 7, 6 e 8 unidades, respectivamente dos vértices A, B e C do triângulo.

Em função da fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:

(Eq1) v² + w² = 49
(Eq2) (v-u)² + w² = 36
(Eq3) (v-u/2)² + (w-u.R[3]/2)² = 64

Subtraindo membro a membro as equações Eq1 e Eq2, obtemos o valor de v em função de u:

v = (u + 13/u)/2

Ao substituir este valor v na Eq2, obteremos duas respostas para w:

w' = R[170-169/u²-u²]/2
w" = -R[170-169/u²-u²]/2

Substituindo agora v e w na Eq3, obteremos uma equação biquadrada na variável u:

u4 -149 u² + 589 = 0

Tomando u²=x, obteremos uma equação do 2o. grau:

x² -149 x + 589 = 0

Resolvendo esta equação e voltando às variáveis originais u, obtemos quatro respostas:

u1=12.0389427, u2=-12.0389427,
u3 = 2.01590146, u4=-2.01590146

Em princípio, eu esperava obter apenas uma solução com u positivo!

Para cada resposta obtida para u, obtemos valores correspondentes para v e para w, assim temos quatro respostas:

[u1,v1,w1]=[ 12.03894270, 6.559385873,2.444270233]
[u2,v2,w2]=[-12.03894270,-6.559385873,2.444270230]
[u3,v3,w3]=[ 2.01590146, 4.232314683,5.575617670]
[u4,v4,w4]=[ -2.01590146,-4.232314683,5.575617670]

Com um pouco de cuidado e muito cálculo, observamos que [u1,v1,w1] e [u4,v4,w4] satisfazem ao problema, mas [u2,v2,w2] e [u3,v3,w3] não satisfazem ( estas são denominadas soluções estranhas ao problema).

Podemos agora construir os dois primeiros triângulos para esta situação:

Triângulo 1: (primeiro quadrante)

A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,18.05841405),
P=(6.559385873,2.444270233)

Triângulo 2: (segundo quadrante)

A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.007950073,1.745821876)
P=(-4.232314683,5.57561767)

Usando um pouco a imaginação, é possível observar que existem também dois outros triângulos simétricos em relação ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A única diferença é que as coordenadas de w devem mudar de sinal.

Triângulo 3: (Terceiro quadrante)

A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.0079501,-1.7458219)
P=(-4.2323147,-5.5756177)

Triângulo 4: (quarto quadrante)

A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,-18.05841405)
P=(6.559385873,-2.444270233)

Em qualquer das 4 situações, a área do triângulo é dada pela fórmula Área = a.b.sen(U)/2, onde U é o ângulo formado pelos lados de medidas a e b.

Assim, a área do triângulo de área maior será

A(maior) = 62.75919017

e a área do triângulo de área menor será

A(menor) = 1,759702435.

Passatempo: Para você aprender um pouco mais de Geometria, observe o desenho ao lado e calcule o valor de h, apenas com as informações contidas no desenho.

O dobro da medida h corresponde à média harmônica entre os números 8 e 10, assim, você tem uma representação geométrica para a média harmônica entre dois segmentos!

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br